Геометрия скрипки

Проектирование скрипки - это скорее теоретическая стадия. Основываясь на уже известных фактах и своих собственных исследованиях, я представляю вашему вниманию математическую модель скрипки, которая, я думаю, будет отвечать всем требованиям скрипичного конструирования. Эта простая геометрическая модель выполнена на персональном компьютере. Более сложная модель, та, которая имитирует поведение акустической системы в динамике, должна производится на мощных ЭВМ (электронно вычислительных машинах). Такая модель может быть использована для наблюдения за теми изменениями, которые возникают в системе при изменении её отдельных параметров.

Для вычерчивания контурных кривых скрипки я использовал шаблоны клотоиды (рис.1 в главе "Скрипка как конструкция"). Все операции проводились при помощи двух компьютерных программ: Adobe Photoshop (редакция картинки) и Adobe Illustrator (наложение чертежа на картинку). Клотоиду я вычерчивал в программе Illustrator при помощи Spiral tool по нижеприведенным координатам (таблица 1).

s	X	Y	R
0.00	0.0000	0.0000	0.0000
10	1000	0005	3.1831
20	1999	0042	1.5915
30	2994	0141	1.0610
40	3975	0334	0.7958
0.50	4923	0647	6366
60	5811	1105	5305
70	6597	1721	4547
80	7228	2493	3978
90	7648	3398	3537
1.00	7799	4383	3183
10	7638	5365	2894
20	7154	6234	2653
30	6386	6863	2449
40	5431	7135	2274
1.50	4453	6975	2122
60	3655	6389	1989
70	3238	5492	1872
80	3336	4509	1768
90	3945	3733	1675
2.00	4883	3434	1592

Таблица 1. Координаты клотоиды.

Данная таблица составлена в относительных размерах a = 1 Чтобы вычертить заданную клотоиду, надо числа, приведенные в таблице, умножить на значение масштаба клотоиды.

ЗАВИТОК ГОЛОВКИ

Анализируя конфигурацию скрипичной головки я пришел к выводу, что она была вычерчена с применением двух спиралей: логарифмической спирали или спирали Бернулли (рис.1) и спирали Корню или клотоиды.

Рис.1. Спираль Бернулли.

Эту спираль я вычерчивал в программе Illustrator при помощи Spiral tool по следующим параметрам:

radius = 16.8 mm, decay = 83.7%, segments =11, rotate = 90º.

Каждый сегмент равен четверти окружности.

В процессе анализа различных завитков я применял различные исходные радиусы и процент их уменьшения (decay).

Алгоритм вычерчивания скрипичной головки по рисунку Страдивари показан на рис. 2. Проводим две параллельные линии AB и ED так, чтобы они обе касались завитка, причем первая совпадала с линией шейки. Первая клотоида в масштабе 106 (а = 106) описывает внешнюю сторону завитка от места его касания с линией AB (точка В) до тыльной стороны колковой коробки (рис.10а). Внутренняя часть волюты описывается спиралью Бернулли, параметры которой приведены на рисунке. Верхнюю сторону колковой коробки я также вычерчиваю клотоидой a-106 которая своим основанием лежит на линии ED и касается линии AB. Заканчиваем чертить тыльную сторону колковой коробки клотоидой a-58. И последнее, соединяем верхнюю сторону коробки с завитком клотоидой a-51 так, чтобы ее основание лежало на линии EF, а завиток клотоиды плавно вписывался в волюту скрипичной головки. Отрезки OC и AD находятся в пропорции золотое сечение (1.6180339...) и равны соответственно 82.25мм и 50.83мм. Клотоида a-50 моделирует подручное место между головкой и шейкой скрипки. OC/AD = ф.

Рис.2. Геометрическая реконструкция рисунка скрипичной головки А.Страдивари.

Рис. 3. Геометрическая реконструкция скрипичной головки А.Страдивари, 1715.

На рис.3, где изображен анализ скрипичной головки А.Страдивари 1715 года, видно, что расположение и размеры клотоид соответствует предыдущему построению по рисунку. Здесь и далее я добавил еще одну клотоиду a-50 которая моделирует подручное место между головкой и шейкой скрипки. OC/AD = ф. Спираль Бернулли несколько отличается от предыдущего построения и ее параметры легко читаются на рисунке.

Рис. 4. Геометрическая реконструкция головки скрипки 'Emperor' А.Страдивари, 1715 г.

Хотя головка скрипки 'Emperor' 1715 г. сделана по той же модели, что и предыдущая, ее очертания несколько отличны, что легко читается по тем размерам, которые я привел на рисунке. Методика анализа скрипки, которую я избрал и которая требует наложения чертежа на изображение как целого инструмента, так и его отдельных частей, имеет один недостаток: фотография не может передать геометрически точный контур инструмента, а делает это с некоторым искажением. Это хорошо видно на следующем примере (рис.5), где я анализирую скрипичную головку А.Страдивари, сфотографированную с двух сторон. Здесь заметны не только те различия, которые внес сам мастер, вырезая две стороны одной и той же головки, но и оптические искажения от фотоаппарта. Несмотря на эти искажения, которые неизбежны при фотографировании, выбранная методика все же позволяет раскрыть основные принципы проектирования струнно-смычковых инструментов.

Рис. 3	Рис. 4	Рис. 5
Рис. 6	Рис. 7	Рис. 8
Рис. 9	Рис. 10	Рис. 11
Рис. 12	Рис. 13	Рис. 14
Рис. 15	Рис. 16	Рис. 17
Рис. 18

Рис.5. Головка скрипки А.Страдивари, сфотографированная с обеих сторон.

Рис.6. Геометрическая реконструкция скрипичной головки А.Страдивари, 1689.

На рис.6 мы уже видим другой характер кривой, описывающий верхнюю часть колковой коробки. Теперь клотоида a-100 начинает свое движение от линии АВ и идет в сторону завитка, повторяя кривизну коробки. Тыльная сторона головки вычерчивается клотоидой a-65 которая касается клотоиды a-102 тогда как на предыдущем примере такая стыковка не получалась.

Рис.7. Геометрическая реконструкция скрипичной головки Гварнери дель Джезу, 1725-1730.

На мой взгляд скрипичная головка Гварнери дель Джезу (рис.7) построена почти идеально. Мне нравится, например, что все клотоиды начинаются от линий, которые являются каркасом построений (где я использовал добавочную линию GH, которая параллельна AB и CD, причем расстояние между всеми тремя линиями одинаково, т.е. AC = CG = 50.8мм), а их размеры находятся в простых пропорциональных отношениях. Самая главная клотоида, описывающая внешнюю сторону завитка, вычерчивается в массштабе a-100 Точно такая же клотоида, которая начинается от линии HG, завершает построение тыльной стороны колковой коробки. Для вычерчивания верхней части колковой коробки я использовал клотоиду a-113 во многих случаях, но только здесь она начинается непосредственно с одной из линий нашего каркаса. Завитки гварнериевских скрипок по своей конфигурации ближе к спирали Виньола, чем завитки А.Страдивари. Да и клотоида описывает конфигурацию скрипичных головок Гварнери намного 'чище', чем страдивариевские.

Вообще конфигурация скрипичных головок Гварнери дель Джезу заметно отличается от страдивариевских. Это легко читается по тем несовпадениям кривых головки с клотоидами, которые есть как у инструментов Страдивари, так и Гварнери. Я подчеркиваю, что клотоида только помогает нам описывать конфигурацию различных частей скрипки и не утверждаю, что скрипичные мастера прошлого пользовались клотоидой так, как это делаю я. В соответствующем месте настоящей работы я подробно описываю тот способ, которым могли бы пользоваться итальянские мастера для вычерчивания контурных кривых их инструментов, которые так замечательно описываются при помощи клотоиды.

Рис.8. Геометрическая реконструкция скрипичной головки Гварнери дель Джезу, 1730-1733.

Рис.9. Геометрическая реконструкция скрипичной головки Гварнери дель Джезу, 1733.

Я уже не раз замечал, что кривая верхней части колковой коробки описывается клотоидой, расположенной как в направлении к завитку, так и в обратном направлении. Это обнаруживается практически у всех мастеров. И хотя основная клотоида a-100, которая описывает завиток, развернута уже под другим углом, вторая клотоида a-100, начинающаяся от линии HG, стыкуется с первой.

Рис.10. Геометрическая реконструкция скрипичной головки Гварнери дель Джезу, 1733.

Рис.11. Геометрическая реконструкция скрипичной головки Гварнери дель Джезу.

Рис.12. Геометрическая реконструкция скрипичной головки Гварнери дель Джезу, 1735.

Рис.13. Геометрическая реконструкция скрипичной головки Гварнери дель Джезу, 1740-1741.

Очень интересна в геометрическом плане головка скрипки Дж.Гваданини (рис. 14). Завиток имеет только 9 сегментов. Но посмотрите как красиво распологаются клотоиды на рисунке. Если бы каждая клотоида начиналась точно с линии, то этот чертеж мог по праву быть одним из лучших.

Рис.14. Геометрическая реконструкция скрипичной головки Джузеппе Гваданини.

Рис.15. Геометрическая реконструкция шаблона альтовой головки А.Страдивари.

Рис.16. Геометрическая реконструкция головки 'Альта Медичи' А.Страдивари.

Рис.17. Геометрическая реконструкция головки альта 'Паганини' А.Страдивари, 1731.

Рис.18. Геометрическая реконструкция головки виолончели 'Гор Бут' А.Страдивари, 1710.

Несмотря на большое различие завитков, которые мы встречаем в инструментах итальянских мастеров, все они имеют аналогичный характер построения, в большей или меньшей степени повторяя те размеры и пропорции, которые я привел выше.

Как можно убедиться, при помощи клотоиды и спирали Бернулли очень легко построить чертеж скрипичной головки. При желании создать свою оригинальную форму головки можно, используя эти две спирали, варьировать повороты клотоид под различными углами, а спираль Бернулли чертить с различной степенью уменьшения радиуса. Главным же условием для выработки новых вариантов всегда должна быть логичность в алгоритмическом построении всего чертежа, а эстетическая ценность спиралей и пропорции 'золотое сечение' поможет в этой нелегкой работе художника.

Так как завиток головки трехмерен, нам следует проанализировать и ширину его, то есть ту кривую, которая определяет изменение ширины завитка улитки. Сам А.Страдивари оставил нам рисунок тыльной стороны головки, показывающий геометрические пропорции ширины колковой коробки (рис.19).

Рис.19. А.Страдивари: рисунок тыльной стороны скрипичной головки.

Особой сложности в этой геометрии нет. Подручное место шейки очерчивается циркулем с радиусом около 12-13 мм, а ширина самого тонкого места в завитке равна около 11мм. Бóльшую сложность представляет распределение ширин завитка головки (рис.20) от самого тонкого места (точка M) до самого широкого в центре завитка (точка К), которые соответствуют аналогичным точкам на рис.7. Здесь я представляю развертку волюты в радиусах (мм), которыми следует отмерять ширину завитка от центральной линии симметрии (пунктирная линия).

Рис.20. Развертка волюты.

0 0 5.5 ________________________________

1 5.9 5.53

2 11.8 5.65

3 17.7 5.84

4 23.6 6.10

5 29.5 6.44

6 35.4 6.85

7 41.3 7.32

8 47.2 7.85

9 53.1 8.42

10 59.0 9.03

11 65.9 9.66

12 71.8 10.29

13 77.7 10.90

14 83.6 11.46

15 89.5 11.94

16 95.4 12.30

17 101.3 12.53

18 107.2 12.61

19 112.1 12.75

20 118.0 13.17

21 123.9 13.87

22 130.8 14.85

23 136.7 16.09

24 142.6 17.53

25 148.5 18.99

26 154.4 20.17

27 160.3 20.63 ______________________________ Таблица 2.

Как видно из таблицы, самое узкое место в завитке равно 11 мм, а самое широкое - 41.26 мм. Конечно эти размеры не аксиома и пусть читателя не смущают сотые доли миллиметра в приведенной таблице, при желании можно пользоваться другими размерами, оставляя, правда, характер кривой развертки волюты аналогичный моему рисунку.

Pиc.21. Пропорции скрипки А.Страдивари "De Fontana", 1702.

Как уже было видно на примере скрипичной головки, для ее построения я использовал пропорцию "золотое сечение", которое определяется по отношению между высотой завитка головки (50.83 мм) и расстоянию между верхним порожком шейки и центром завитка (82.25 мм). Размер 50.83 мм получается умножением числа Пи (3,14159...) на 1.6180339 см (золотая пропорция - ф).

Конечно, не все скрипки подпадают очень точно под это отношение, но разница невелика и выявленная закономерность прослеживается на большинстве инструментов.

Таким образом, для построения скрипки мы будем пользоваться двумя модусами: числом Пи для выявления размеров основных частей инструмента и клотоидой для вычерчивания контурных кривых. В качестве модулера мы будем использовать "золотую пропорцию", ее производные и отношения 1/2; 2/3;3/4; 4/5; 3/5; 5/8 и др.

Исходя из сказанного, основные размеры скрипки мы будем определять как геометрическую прогрессию числа Пи в пропорциональном отношении золотого сечения. На рис. 3 эта прогрессия определяется следующими отрезками: АВ = 82.25 мм; ВС = 133.08 мм; АС = 215.33 мм; CD = 348.41мм; AD = 563.74 мм. Причем размер 31.4 мм - это высота подставки и высота обечаек.

Следует заметить, что CD (348.41 мм) это длина не корпуса инструмента, а патрона, на котором монтируются обечайки. Точка Е (место внутренних зарубок эфов) делит CD на отрезки в следующем отношении:

2ED : CE = ф (1,6180339...) .

Найти эти отрезки можно следующим образом:

CE = CD : (ф/2 + 1) = 192,6 мм

ED = CD : (2ф - 1) = 155,81 мм

Обычно длину шейки измеряют от верхнего порожка до края деки. Угол наклона шейки к корпусу скрипки во времена Страдивари был не такой острый как при современной монтировке инструментов. На приведенной нами фотографии модифицированной скрипки А.Страдивари (рис.21) этот угол равен 7,5º. Если BC = 133,08 мм, то длина шейки равна (133,08 мм - 3,5 мм [расстояние от клеца до края деки] ) / cos7.5º = 130,7 мм.

КОРПУС СКРИПКИ

Геометрический анализ корпуса скрипки начинаем с построения эфов. Такую последовательность я избрали потому, что она (как это будет видно в дальнейшем) определяет размеры и положение С-образных вырезов, так называемую талию скрипки. Это будет иметь немаловажное значение при дальнейших расчетах геометрии всего инструмента.

Как было показано выше, местоположение внутренних зарубок эфов мы находим по линии Е. Тогда мензура инструмента (расстояние между внутренними зарубками эфов до верхнего края деки) будет 192.6 мм + 3.5 мм = 196.1 мм при длине корпуса 355.41 мм (348.41 мм + 3.5 мм + 3.5 мм). Ниже я привожу сводную таблицу соотношения длины инструмента с мензурой различных мастеров Италии (таблица 2).

 
  
Мастер         Длина инструмента, мм   Мензура, мм
А.Страдивари
  1686                 354               195
  1688                 358               193
  1688                 357               198
  1700                 358               197
  1706                 356               196
  1707                 356               196
  1708                 353.5             195
  1710                 358               197
  1705                 351               190
  1708                 362               196
  1711                 359               195
  1716                 354.5             192
  1718                 350               188
  без года             354               196
  после 1727           357.5             195
  после 1727           356.5             195
  1736                 358               198
  
Н.Амати
  1658                 356               195
  1663                 354.5             197
  без года             353               196
  1678                 351               190
      
А.и И.Амати
   
  1628                 352               196
  1629                 351               195
 
А.Гварнери
  1665                 353               193
Гварнери дель Джезу
   
 "Изаи"                357.5             196
  1742                 350               188

Таблица 2

ЭФЫ

Анализ размеров, конфигурации и расположения эфов на скрипке начнем с рисунка, который выполнил сам А.Страдивари (рис. 22). Те линии и дуги окружностей, которые мы видим на рисунке, являются только ориентирами для переноса эфов с бумаги на деку, но не имеют прямого отношения к процессу моделирования эфов, по которому можно было бы проследить рождение замысла великого мастера. Нам неизвестно, как Страдивари вычерчивал сами эфы, хотя он оставил нам в наследство деревянные шаблоны эфов для всех моделей его инструментов. И они тоже являются только копиями того чертежа, который, если бы был, смог бы пролить свет на тайну конструкторского творчества не только его самого, но и всех других скрипичных мастеров прошлого.

Я буду демонстрировать своё исследование построения эфов 'кадр за кадром' на нескольких чертежах. Мне представляется это очень удобным для первичного ознакомления с ходом рассуждений. Дальнейшие же примеры, описывающие эфы как А.Страдивари, так и других мастеров, я буду давать уже только на одном чертеже.

div>

Рис.22. Геометрическая реконструкция эфов (модель "G").

Во-первых, я уточнил диаметры глазков (10 мм для нижнего и 7,5 мм для верхнего) и радиус дуги с центром в нижнем глазке, которая проходит через центр верхнего глазка (61 мм). Далее я провел параллельные друг другу линии, которые соответствуют линии подставки и самому узкому месту в талии скрипки. Из акустического центра (точка пересечения линии подставки и вертикальной оси симметрии) описываются две окружности радиусом 38 мм и 61 мм, проходящие через центры верхнего и нижнего глазков соответственно. Меньшая окружность также проходит через центр эфа и касается линии "талии". Пропорциональное отношение между двумя окружностями равно: 61мм/38мм = 1.61, что очень близко к золотому сечению.

Так как радиусы двух окружностей пропорционально очень близки к золотому сечению, я постарался разместить на чертеже равнобедренный золотой треугольник (угол при основании равен 72º) так, чтобы двумя углами он опирался соответственно на центры верхнего и нижнего глазков, а третьим - в акустическом центре. Конечно, заметна некоторая неточность в касании углами треугольника соответствующих точек, но это можно объяснить особенностью построения рисунка при помощи циркуля самим Страдивари, тогда как я пользовался компьютером.

Сам эф я рисую, используя три клотоиды: a-22; a-29.3; a-39.1. Так как размеры глазков относятся друг к другу как 3/4, то и размеры клотоид имеют те же отношения:

22/29.3 = 3/4; 29.3/39.1 = 3/4; 22/39.1 = 9/16 = 3²/4².

Расположение клотоид легко читается на чертеже. Я только обращу внимание читателя на некоторые важные моменты, а именно: клотоиды a-22 (внутренняя сторона верхнего отростка эфа) и a-29.3 (внешняя сторона нижнего отростка эфа) плавно вписываются в окружности глазков; a-39.1 начинается от внутреннего зарубка эфа и плавно вписывается в a-29.3.

Уже говорилось, что Страдивари часто не согласовывал свой рисунок эфов на внутренней стороне деки с тем, что он вырезал впоследствии. Это объясняется не только акустическими задачами при работе над эфами, но и особенностями бумажного шаблона эфа, который как бы состоит из трех частей: длинного тела и двух маленьких хвостиков. На шаблоне Страдивари оставлял довольно широкую перемычку между этими частями, а при вырезывании эфа в деке в этом месте прорезь оставалась очень узкой. На рис. 23 эта разница показана сплошной и пунктирной линиями в левом эфе. Я убрал из чертежа рисунок Страдивари и некоторые вспомогательные линии с числами и буквами, что, на мой взгляд, помогает лучше видеть сами эфы.

Рис.23. Эфы.

Ниже приводится анализ эфов А.Страдивари, выполненных по фотографиям его скрипок. У нас остаются те же проблемы с оптическими искажениями, которые были при анализе скрипичных головок, но основные геометрические идеи, мне кажется, все же будут высвечены.

Рис. 24	Рис. 25	Рис. 26
Рис. 27	Рис. 28	Рис. 29

На рисунке 24 (А.Страдивари, центральная часть скрипки, 1702.) я воспользовался только двумя размерами клотоид: а-25 для верхнего глазка и а-37 для нижнего. Примечательно то, что линия талии (F) является касательной к малой окружности ( r = 36.5мм) и пересекает большую окружность (r¹ = 62.8 мм) в точках самого узкого места в талии (имеется ввиду патрона, а не самой деки). Диаметр нижнего глазка 10 мм, а верхнего - 6 мм.

На рисунке 25 (А.Страдивари: центральная часть скрипки 'Emperor', 1715.) анализируется центральная часть скрипки 'Император'. Здесь, как и в предыдущей скрипке, линия F¹F² пересекает большую окружность (r = 62.8 мм) в точках самого узкого места в талии. Малая окружность (r = 38 мм) проходит через верхние глазки, касается линии F¹F² и правого эфа, но левый эф она пересекает, что объясняется скорее ассиметричностью эфов, чем оптическим искажением, так как оба нижних глазка симметричны. Золотой треугольник опирается одним из своих углов на точку Е, а другие два совсем немного не совпадают с центрами глазков. Эфы я чертил двумя клотоидами: а-28 и а-34.7. И хотя анализ патрона с углами будет приводиться позже, я воспользовался случаем показать расположение клотоид на С-образных вырезах, которые абсолютно симметричны и описываются клотоидами a-47.7 и a-71.7.

Рис. 26 (А.Страдивари, центральная часть скрипки.) показывает анализ еще одной скрипки А.Страдивари. Здесь, как мы видим, С-образные вырезы ассимметричны. Линии изгибов обоих Эсов настолько различны, что я их чертил разными клотоидами, размеры которых видно на чертеже. Геометрия этих эфов полностью подчинена закону золотого пропорционирования, например: две окружности с радиусами 65.38 мм и 40.41 мм (65.38/40.41 = 1.618... ), золотой треугольник PES со сторонами 65.38 мм и 40.41 мм и золотой прямоугольник PNMV со сторонами 31 мм и 50 мм. Эфы вычерчивались двумя клотоидами: а-31 и а-37.

На рис. 27 (Гварнери дель Джезу: центральная часть скрипки, 1733 г.) я проанализировал скрипку Гварнери дель Джезу тем же самым методом. Здесь также заметна некоторая ассиметричность в построении эфов. Чертежное построение легко читается, но я все же прокоментирую его. Я воспользовался золотым прямоугольником со сторонами 31.4 мм и 50.8 мм, но, как видно из чертежа, его углы не совсем совпали с центрами верхних глазков. Золотой треугольник также не центруется с верхним глазком, хотя нижний глазок и центр скрипки совпадают с углами треугольника. Диаметры глазков: 9 мм и 7 мм. Я попытались выложить клотоиды на правый эф, но безуспешно - они явно не стыкуются с линиями эфа. На левом эфе вместо клотоид я начертил окружности (D = 17.6мм и 22.5мм), которые соединились с эфом достаточно хорошо. Эсы я чертил при помощи клотоид а-49 и а-53.

Рис. 28. Реконструкция чертежа эфов А.Страдивари для альта.

Рис. 29. Реконструкция чертежа эфов А.Страдивари для виолончели.

ПОСТРОЕНИЕ ПАТРОНА СКРИПКИ

Патроном скрипки мы называем внутреннюю часть корпуса инструмента, заключенного между боками, куда входят все шесть клецев: четыре угловых, верхний и нижний.

Так как композиционное положение углов патрона в скрипках А.Страдивари всегда согласуется с головкой, на первом моём чертеже (рис. 30) я показал весь инструмент. К тому же это только типовая схема, которая не идентична ни одной из существующих скрипок. Она является только орудием геометрического анализа. И только результаты анализа конкретных инструментов наполнят ее реальным конструкторским содержанием. В дальнейшем я сохраняю только линии соединения углов с завитком, а саму головку показывать не буду, чтобы дать возможность представить чертеж не в очень сильном уменьшении.

О роли талии в скрипке существует немало версий, большинство из которых сводятся к ее утилитарным функциям, позволяющим исполнителю удобно играть на скрипке смычком. Я же придерживаюсь мнения, что приталенная форма любого музыкального инструмента должна рассматриваться как объединение двух резонаторов.

Таким образом, корпус скрипки мы будем рассматривать как восьмеркообразный двойной резонатор. Причем, верхний и нижний овалы представляют собой две "луковицы" соединенные вместе.

При анализе скрипичного патрона А.Страдивари мы будем пользоваться клотоидами различных масштабов исходя из размеров самих патронов. Размеры и местоположение самых широких мест нижнего и верхнего овалов определяются как масштабами клотоид, так и углами их разворота. Для нижнего овала это угол KMP, где MP - абсцисса (X) клотоиды, а для верхнего овала - угол JST, где ST - также абсцисса клотоиды.

Местоположение нижних углов скрипки (точнее говоря угловых клецев, а не самой деки) мы находим на пересечении трех линий: G¹A¹, которая соединяет самое широкое место нижнего овала с глазком завитка головки; МР, являющаяся абсциссой (Х) клотоиды; GH - некая прямая, имеющая определенный угол с CD. Для верхних углов эти линии соответственно будут: G¹A¹, ST и FH.

Чертить эти углы мы будем маленькими клотоидами, которые должны касаться соответствующих луковиц, проходить через точки Т или Р и не выходить за рамки талии.

Рис. 30 Схема анализа геометрии скрипки.

Рис. 31. Геометрическая реконструкция скрипичного патрона 'МВ' Николо Амати. Длина патрона (CD) = 343 мм, ширина верхнего овала (F¹F²) = 155 мм, ширина нижнего овала (G¹G²) = 193.2 мм, талия = 101.5 мм. Причем G¹G²/ F¹F² = 5/4.

Точка М (начало нижней луковицы) - делит длину патрона на два отрезка в пропорции 2/ф (1,2360678) тогда MD = 189.6 мм, а СМ = 153.4 мм.

Для вычерчивания нижней луковицы я использовал клотоиду a-200. Начало клотоиды лежит в точке М, касается С-образного выреза талии и далее вписывается в овал патрона почти до самого нижнего клеца. Причем угол КMP = 58º.

Аналогичное построение производим и с противоположной стороной луковицы. Участок около нижнего клеца дорисовываем клотоидой a-130 так, чтобы она плавно вписывалась в клотоиду a-200 и касалась горизонтальной линии D.

Как видно из рисунка, нижний овал построен довольно симметрично.

Верхний овал вычерчивается клотоидой a-185. Какой-либо математической закономерности в положении точки S я здесь не нашел, а только укажу, что CS = 176 мм, а SD = 167 мм. Угол поворота клотоиды, то есть угол JST = 51.83º. Я уже указывал, что этот угол лежит в основании Великой Пирамиды и используется при построении золотого треугольника.

Завершаем построение верхнего овала клотоидой a-96.5.

Как видно из рисунка, верхний овал не совсем симметричен. Если левая клотоида своим основанием лежит в точке S, то правая несколько сдвинута вправо и имеет меньший угол разворота (51º).

Прежде, чем анализировать геометрическое положение углов, находим точки F и G, которые соответствуют самым широким местам верхнего и нижнего овалов. Я это делаю простым измерением и определяю, что CF = 64 мм, а GD = 67 мм. Хотя между этими размерами нет какой-либо интересной математической закономерности, получившийся отрезок FG (212 мм) меньше общей длины патрона (343 мм) в пропорциональном отношении золотое сечение.

Я уже говорил, что линия, соединяющая самое широкое место нижнего овала с завитком головки, проходит через нижний и верхний углы скрипки (G¹A¹). Нам остается только провести остальные две, чтобы указать точное расположение этих углов.

Проведем линию из точки F через верхний угол и получим прямую FH, составляющую угол 54º c прямой CD. Как вы помните, этот угол участвует в построении золотого треугольника. Третья линия, которая является абсциссой клотоиды a-185, проходит совсем близко от точки Т.

Нижний уголовой клец находим аналогичным образом, где абсцисса клотоиды a-200 точно проходит через точку Р, а прямая GH составляет с CD угол 51.83º.

Конфигурацию углов и талии я вычерчиваю клотоидами a-66 и a-44, которые находятся в пропорциональной отношении 3/2.

Если разделить общую длину патрона скрипки на три части прямыми TJ и РК, проходящими через углы, то мы получим три отрезка в следующих пропорциональных отношениях: CJ(117.5мм)/JK(90.2 мм) = 4/3; JK/KD(135.3мм) = 2/3. Центр окружности, проходящей через все углы лежит в точке S; диаметр = 185 мм.

Рис.32. Геометрическая реконструкция скрипичного патрона 'PG'-1689 А.Страдивари. Длина патрона (CD) = 348 мм, ширина верхнего овала (F¹F²) = 161 мм, ширина нижнего овала (G¹G²) = 200 мм, талия = 103 мм. Причем G¹G²/ F¹F² = 1.24, что очень близко к пропорции 5/4 = 1.25.

Точка М - начало нижней луковицы - делит длину патрона на два отрезка в пропорции 2/ф (1.2360678...), тогда MD = 192.4 мм, а СМ = 155.6 мм.

Для вычерчивания нижней луковицы я использовал клотоиду а-200. Начало клотоиды лежит в точке М, касается С-образного выреза талии и далее описывает овал патрона почти до самого нижнего клеца. Причем угол KMP = 60º. Напоминаю, что угол 60º входит в прямоугольный треугольник с углами 90º, 60º и 30º c соотношением 3:2:1.

Аналогичное построение производим и с противоположной стороной луковицы. Участок около нижнего клеца дорисовываем клотоидой а-128.5 так, чтобы она плавно вписывалась в клотоиду а-200 и касалась горизонтальной линии D.

Как видно из рисунка, нижний овал построен довольно симметрично.

Верхний овал я вычерчиваю клотоидой а-185. CS = 176 мм, что равно предыдущему построению у Н.Амати, а SD = 172 мм. Так как в этом патроне самое широкое место верхнего овала больше, чем у Амати, то и угол поворота клотоиды увеличен, то есть угол JST = 54º. Завершаем построение верхнего овала клотоидой а-94.3.

Как видно из рисунка, верхний овал симметричен.

Находим точки F и G простым измерением и определяем,что CF = 66.1 мм, а GD = 75.3 мм. Как видно из построения, Страдивари увеличил общую длину патрона за счет нижнего овала. Получившийся отрезок FG (206.6 мм) меньше общей длины патрона (348 мм) в пропорциональном отношении 1.68.

Линия, соединяющая самое широкое место нижнего овала с завитком головки, проходит через нижний и верхний углы скрипки (G¹A¹).

Проведем линию из точки F через верхний угол и получим прямую FH, составляющую угол 54º c прямой CD. Третья линия, которая является абсциссой клотоиды а-185, проходит совершенно точно через точку Т.

Нижний угловой клец находим аналогичным образом, где абсцисса клотоиды а-200 проходит через точку Р, а прямая GH составляет с CD тот же угол 54º.

Конфигурацию углов и талии я вычерчиваю клотоидами а-66 и а-44, которые находятся в пропорциональной отношении 3/2. Центр окружности, проходящей через все углы лежит в точке W (чуть ниже точки S); диаметр = 188 мм.

Если разделить общую длину патрона скрипки на три части прямыми TJ и РК, проходящими через углы, то мы получим три отрезка в следующих пропорциональных отношениях: CJ(121.3мм)/JK(86.5 мм) = 7/5; KD(140 мм)/JK = ф (золотая пропорция).

Рис. 33. Наложение чертежа скрипичного патрона 'PG' А.Страдивари на чертеж скрипичного патрона 'МВ' Николо Амати (пунктир).

Рис.34. Геометрическая реконструкция скрипичного патрона 'SL' 1691 А.Страдивари. Длина патрона (CD) = 350 мм, ширина верхнего овала (F¹F²) = 154.5 мм, ширина нижнего овала (G¹G²) = 195.5 мм, талия = 100 мм. Причем G¹G²/ F¹F² = 1.27, что довольно близко к пропорции 5/4 = 1.25.

Точка М - начало нижней луковицы - делит длину патрона на два отрезка в пропорции 2/ф (1.2360678), тогда MD = 193.5 мм, а СМ = 156.5 мм.тогда MD = 193.5 мм, а СМ = 156.5 мм.

Для вычерчивания нижней луковицы я использовал клотоиду а-202. Начало клотоиды лежит в точке М, касается С-образного выреза талии и далее описывает овал патрона почти до самого нижнего клеца. Причем угол KMP = 58.7º, что немного меньше 60º.

Аналогичное построение производим и с противоположной стороной луковицы. Участок около нижнего клеца дорисовываем клотоидой а-130 так, чтобы она плавно вписывалась в клотоиду а-202 и касалась точки D.

Как видно из рисунка, нижний овал построен симметрично.

Верхний овал я вычерчиваю клотоидой а-185.4. CS = 178 мм, а SD = 172 мм. Так как в этом патроне верхний овал несколько вытянут по сравнению с предыдущим патроном, то и угол поворота клотоиды уменьшен, то есть угол JST = 51.83º. Завершаем построение верхнего овала клотоидой а-100. Как видно из рисунка, верхний овал симметричен.

Находим точки F и G простым измерением и определяем, что CF = 65 мм, а GD = 73.4 мм. Получившийся отрезок FG (211.6 мм) меньше общей длины патрона (350 мм) в пропорциональном отношении 1.65.

Проведем линию из точки F через верхний угол и получим прямую FH, составляющую угол 54º c прямой CD. Третья линия, которая является абсциссой клотоиды а-185, проходит совершенно точно через верхний угол патрона скрипки.

Нижний угловой клец находим аналогичным образом, где абсцисса клотоиды а-202 проходит через точку Р, а прямая GH составляет с CD угол 51.83º.

Конфигурацию углов и талии вычерчиваем клотоидами а-66 и а-44, которые находятся в пропорциональной отношении 3/2.

Если разделить общую длину патрона скрипки на три части прямыми TJ и РК, проходящими через углы, то получим три отрезка в следующих пропорциональных отношениях: CJ (118.3 мм) / JK(90 мм) = 4/3 ; KD(141.7 мм)/JK = 0.635. Центр окружности, проходящей через все углы лежит в точке S; диаметр = 188 мм.

Если сравнить этот патрон с предыдущим, то видно, что Страдивари увеличил общую длину патрона за счет центральной части.

Рис. 35. Наложение чертежей скрипичных патронов 'SL' и 'PG' А.Страдивари.

Рис. 36. Геометрическая реконструкция скрипичного патрона 'В'-3/6/1692 А.Страдивари. Длина патрона (CD) = 353.5 мм, ширина верхнего овала (F¹F²) = 154.5 мм, ширина нижнего овала (G¹G²) = 194.8мм, талия = 102 мм. Причем G¹G²/ F¹F² = 1.26, что близко к пропорции 5/4=1.25.

Точка М - начало нижней луковицы - делит длину патрона на два отрезка в пропорции 1.36, тогда MD = 203.8 мм, а СМ = 149.7 мм.

Страдивари опять увеличивает предыдущую модель, но уже за счет нижнего овала. Его я вычерчиваю клотоидой а-214. Причем угол KMP = 55.6º, что намного меньше 60º, так как овал несколько вытянут вниз.

Аналогичное построение производим и с противоположной стороной патрона. Участок около нижнего клеца дорисовываем клотоидой а-130 так, чтобы она плавно вписывалась в клотоиду а-214 и касалась точки D.

Как видно из рисунка, нижний овал построен несколько асимметрично.

Верхний овал вычерчиваем клотоидой а-184.5. CS=181.3 мм, а SD=172.2 мм. Так как в этом патроне верхний овал несколько вытянут по сравнению с предыдущим патроном, то и угол поворота клотоиды уменьшен, то есть угол JST = 50.5º. Завершаем построение верхнего овала клотоидой а-94. Как видно из рисунка, верхний овал также асимметричен.

Находим точки F и G простым измерением и определяем, что CF = 66.2 мм, а GD = 76.5 мм. Получившийся отрезок FG (210.8 мм) меньше общей длины патрона (353.5 мм) в пропорциональном отношении 1.68.

Проведем линию из точки F через верхний угол и получим прямую FH, составляющую угол 54º c прямой CD. Третья линия, которая является абсциссой клотоиды а-194.5, проходит совершенно точно через верхний угол патрона скрипки.

Нижний угловой клец находим аналогичным образом, где абсцисса клотоиды а-214 проходит через точку Р, а прямая GH составляет с CD угол 51.83º.

Конфигурацию углов и талии вычерчиваем клотоидами а-60 и а-43, которые находятся в пропорциональной отношении 7/5.

Если разделить общую длину патрона скрипки на три части прямыми TJ и РК, проходящими через углы, то получим три отрезка в следующих пропорциональных отношениях: CJ(119 мм) / JK(89.6 мм) = 4/3 ; KD(144.9 мм)/JK = ф.

Центр окружности, проходящей через все углы лежит в точке W (чуть выше точки S); диаметр = 185 мм.

Рис. 37. Наложение чертежей скрипичных патрооы 'SL' и 'В'-3/6/1692 А.Страдивари.

Рис. 38. Геометрическая реконструкция скрипичного патрона 'В'-6/12/1692 А.Страдивари. Длина патрона (CD) = 347.5 мм, ширина верхнего овала (F¹F²) = 154 мм, ширина нижнего овала (G¹G²) = 195мм, талия = 102мм. Причем G¹G²/ F¹F² = 1.26, что близко к пропорции 5/4. В этом патроне Страдивари сохраняет общую ширину патрона скрипки предыдущей модели, но укорачивает ее, приближаясь к патрону PG.

Точка М - начало нижней луковицы - делит длину патрона на два отрезка в пропорции 1.32, тогда MD = 197.9 мм, а СМ = 150.2 мм.

Нижний овал вычерчиваем клотоидой а-207.5. Причем угол KMP увеличивается, по сравнению с предыдущим патроном, до 56.7º.

Аналогичное построение производим и с противоположной стороной патрона. Участок около нижнего клеца дорисовываем клотоидой а-129 так, чтобы она плавно вписывалась в клотоиду а-207.5 и касалась точки D.

Как видно из рисунка, нижний овал построен несколько асимметрично.

Верхний овал вычерчиваем клотоидой а-185. CS = 176.3 мм, а SD = 171.8 мм. Так как в этом патроне верхний овал не так вытянут по сравнению с предыдущим патроном, то и угол поворота клотоиды увеличен, то есть угол JST = 51.83º. Завершаем построение верхнего овала клотоидой а-94.8. Как видно из рисунка, верхний овал также асимметричен.

Находим точки F и G простым измерением и определяем, что CF = 64.7 мм, а GD = 73.6 мм. Получившийся отрезок FG (209.8 мм) меньше общей длины патрона (347.5 мм) в пропорциональном отношении 1.66.

Линия, соединяющая самое широкое место нижнего овала с завитком головки, проходит через нижний и верхний углы скрипки (G¹A¹), и нам остается только провести остальные две, чтобы указать точное расположение этих углов.

Проведем линию из точки F через верхний угол и получим прямую FH, составляющую угол 54º c прямой CD. Третья линия, которая является абсциссой клотоиды а-185, проходит через верхний угол патрона скрипки.

Нижний угловой клец находим аналогичным образом, где абсцисса клотоиды а-207.5 проходит через точку Р, а прямая GH составляет с CD угол 51.83º.

Конфигурацию углов и талии вычерчиваем клотоидами а-66 и а-44, которые находятся в пропорциональной отношении 3/2. Центр окружности, проходящей через все углы лежит в точке S; диаметр = 185 мм.

Если разделить общую длину патрона скрипки на три части прямыми TJ и РК, проходящими через углы, то получим три отрезка в следующих пропорциональных отношениях: CJ (117.1 мм) / JK(88.2 мм) = 4/3 ; KD(142.7 мм)/JK = ф.

Рис. 39. Наложение чертежей скрипичный патронов 'В'-3/6/1692 и 'В'-6/12/1692 А.Страдивари.

Рис. 40. Геометрическая реконструкция скрипичного патрона А.Страдивари S-1703. Длина патрона (CD) = 345 мм, ширина верхнего овла (F¹F²) = 155 мм, ширина нижнего овала (G¹G²) = 195 мм, талия = 100 мм. G¹G²/ F¹F² = 1.26.

Точка М делит длину патрона на два отрезка в пропорции 1.22, тогда MD=189.7мм, а СМ = 155.3 мм.

Нижний овал вычерчиваем клотоидой а-199.3. Причем угол KMP увеличивается, по сравнению с предыдущим патроном, до 59º, еще больше приближаясь к 60º.

Аналогичное построение производим и с противоположной стороной патрона. Участок около нижнего клеца дорисовываем клотоидой а-128.5 так, чтобы она плавно вписывалась в клотоиду а-199.3 и касалась точки D.

Как видно из рисунка, нижний овал построен симметрично.

Верхний овал вычерчиваем клотоидой а-185. CS = 175.9 мм, а SD = 169.1 мм. Угол поворота клотоиды, то есть угол JST = 51.83º. Завершаем построение верхнего овала клотоидой а-94.3.

Как видно из рисунка, верхний овал слегка асимметричен.

Находим точки F и G простым измерением и определяем,что CF = 62 мм, а GD = 70мм. Получившийся отрезок FG (213.2 мм) меньше общей длины патрона (345 мм) в пропорциональном отношении золотое сечение.

Проведем линию из точки F через верхний угол и получим прямую FH, составляющую угол 51.83º c прямой CD. Третья линия, которая является абсциссой клотоиды а-185, проходит через верхний угол патрона скрипки.

Нижний угловой клец находим аналогичным образом, где абсцисса клотоиды а-199.3 проходит через точку Р, а прямая GH составляет с CD угол 51.83º. Таким образом, впервые треугольник FGH получился равнобедренным и полностью повторяет геометрию Великой Пирамиды.

Конфигурацию углов и талии вычерчиваем клотоидами а-60 и а-42. Центр окружности, проходящей через все углы лежит в точке S; диаметр = 185 мм.

Если разделить общую длину патрона скрипки на три части прямыми TJ и РК, проходящими через углы, то получим три отрезка в следующих пропорциональных отношениях: CJ (119.5 мм)/JK(88 мм) = 1.36; KD(137.5 мм)/JK = 1.56.

Рис. 41. Наложение чертежей скрипичных патронов 'В'-6/12/1692 и 'S'-1703 А.Страдивари.

Рис. 42. Геометрическая реконструкция скрипичного патрона А.Страдивари 'P'-1705. Длина патрона (CD) = 348 мм, ширина верхнего овала (F¹F²) = 161 мм, ширина нижнего овала (G¹G²) = 200 мм, талия = 102 мм. G¹G²/ F¹F² = 1.24.

Точка М делит длину патрона на два отрезка в пропорции 1.22, тогда MD = 190 мм, а СМ = 158 мм.

Нижний овал вычерчиваем клотоидой а-200. Причем угол KMP = 60º.

Аналогичное построение производим и с противоположной стороной патрона. Участок около нижнего клеца дорисовываем клотоидой а-128.4 так, чтобы она плавно вписывалась в клотоиду а-200 и касалась точки D.

Как видно из рисунка, нижний овал построен симметрично.

Верхний овал вычерчиваем клотоидой а-182. Точка S делит длину патрона пополам, так что CS = SD = 174 мм. Угол поворота клотоиды, то есть угол JST = 55º. Завершаем построение верхнего овала клотоидой а-106. Как видно из рисунка, верхний овал слегка асимметричен.

Находим точки F и G простым измерением и определяем,что CF = 65 мм, а GD = 73мм. Получившийся отрезок FG (210 мм) меньше общей длины патрона (348 мм) в пропорциональном отношении 1.657.

Проведем линию из точки F через верхний угол и получим прямую FH, составляющую угол 54º c прямой CD. Третья линия, которая является абсциссой клотоиды а-182, проходит через верхний угол патрона скрипки.

Нижний угловой клец находим аналогичным образом, где абсцисса клотоиды а-200 проходит через точку Р, а прямая GH составляет с CD угол 54º. Таким образом, треугольник FGH получился равнобедренным, с другими углами, соответствующими золотому треугольнику.

Конфигурацию углов и талии вычерчиваем клотоидами а-66 и а-44, которые находятся в Если разделить общую длину патрона скрипки на три части прямыми TJ и РК, проходящими через углы, то получим три отрезка в следующих пропорциональных отношениях: CJ (120 мм) / JK(90 мм) = 4/3 ; KD(138 мм)/JK = 1.53

Центр окружности, проходящей через все углы лежит в точке W (чуть ниже точки S); диаметр = 190 мм.

Рис. 43. Наложение чертежей скрипичных патронов 'S'-1703 и 'P'-1705 А.Страдивари.

Рис. 44. Геометрическая реконструкция скрипичного патрона А.Страдивари G-1715. Длина патрона (CD) = 354 мм, ширина верхнего овала (F¹F²) = 161.5 мм, ширина нижнего овала (G¹G²) = 201 мм, талия = 103 мм. G¹G²/ F¹F² = 1.245.

Точка М делит длину патрона на два отрезка в пропорции 1.27, тогда MD = 198.1мм, а СМ = 155.9 мм.

Нижний овал вычерчиваем клотоидой а-207.7. Причем угол KMP = 59º.

Аналогичное построение производим и с противоположной стороной патрона. Участок около нижнего клеца дорисовываем клотоидой а-124.5 так, чтобы она плавно вписывалась в клотоиду а-207.7 и касалась точки D.

Как видно из рисунка, нижний овал построен довольно симметрично.

Верхний овал вычерчиваем клотоидой а-185. Точка S делит длину патрона пополам, так что CS = SD = 177 мм. Угол поворота клотоиды, то есть угол JST = 54º. Завершаем построение верхнего овала клотоидой а-124.5.

Как видно из рисунка, верхний овал довольно симметричен.

Находим точки F и G простым измерением и определяем,что CF = 65.6 мм, а GD = 73.2 мм. Получившийся отрезок FG (215.5 мм) меньше общей длины патрона (354 мм) в пропорциональном отношении 1.64.

Проведем линию из точки F через верхний угол и получим прямую FH, составляющую угол 54º c прямой CD. Третья линия, которая является абсциссой клотоиды а-185, проходит через верхний угол патрона скрипки.

Нижний угловой клец находим аналогичным образом, где абсцисса клотоиды а-207.7 проходит через точку Р, а прямая GH составляет с CD угол 51.83º.

Конфигурацию углов и талии вычерчиваем клотоидами а-66 и а-44. Центр окружности, проходящей через все углы лежит в точке S; диаметр = 190 мм.

Если разделить общую длину патрона скрипки на три части прямыми TJ и РК, проходящими через углы, то получим три отрезка в следующих пропорциональных отношениях: CJ (121.4 мм/JK(89.2 мм) = 1.36 ; KD(144.3 мм)/JK = ф.

Рис. 45. Наложение чертежей скрипичных патронов 'P'-1705 и 'G'-1715 А.Страдивари.

***

А теперь, используя метод, который я применил при анализе скрипок итальянских скрипичных мастеров, мы построим собственную модель инструмента, который будет отличаться от уже известных нам инструментов, но сохранит основной принцип моделирования музыкального инструмента. Это даст нам возможность показать творческий подход скрипичного мастера в искусстве проектирования скрипки, когда при сохранении основных принципов конструирования мастер достаточно свободен в своем творчестве, чтобы создать уникальный и неповторимый струнно-смычковый инструмент в лучших традициях великих мастеров Италии.

Рис.46. Проектирование верхнего и нижнего овалов скрипки.

Проектирование верхнего и нижнего овалов скрипки (рис.46) начинаем с вертикальной линии CD, равную 348.4 мм, которая является результатом геометрической прогрессии числа Пив пропорции золотого сечения. Точку М находим делением CD на два отрезка MD = 192.6мм и СМ = 155.8мм в пропорциональном отношении 2/ф.

Клотоида а-200 нижнего овала развернута под углом 60º и опирается своим основанием на точку М, то есть угол KMP = 60º. При таком положении клотоиды самое широкое место нижнего овала равно 200 мм и находится на расстоянии 75.3 мм от нижнего края (GD).

Верхний овал строим клотоидой а-185, которая развернута под углом 54º (угол JST = 54º) и опирается своим основанием на точку S, делящую CD пополам, т.е. CS = SD = 174.2мм. Самое широкой место верхнего овала получается 160 мм и удалено от верхнего края на расстояние 64.1 мм (CF).

Отношение между двумя ширинами составляет пропорцию 5/4, то есть 200/160 = 5/4.

Участки около верхнего и нижнего овалов дорисовываются клотоидами а-91 и а-130 соответственно.

Далее соединяем края самого широкого места нижнего овала с завитком головки, как мы это делали раньше, и точки пересечения этих линий с абсциссами клотоид обозначаем буквами N, L, P и T. Практически этими точками мы уже наметили положения верхних и нижних углов патрона скрипки. Соеденим эти точки соответственно с центрами верхнего (F) и нижнего (G) овалов. Угол FGH = углу GFH = 54º.

Отношение отрезка FG (209мм) к общей длине патрона составляет пропорцию 3/5. Напомним читателю, что в древности часто использовали пропорции, связанные с числами Фибоначи: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89... Этот ряд чисел образуется сложением двух соседних чисел, отношения между которыми стремится к золотой пропорции. Так, если 3/5 = 0.6, а 55/34 = 1.6176, то уже 144/89 = 1.618.

Прежде, чем вычерчивать С-образные вырезы, нужно установить размер и положение самого узкого места в талии скрипки, которые определяются размерами и положением эфов. Переходим, поэтому, к рисунку 47.

Рис.47. Завершающая стадия моделирования скрипичного патрона.

На рис. 47 я показываю завершающую стадию моделировния скрипичного патрона. Определение точки Е, через которую проходит линия подставки и внутренние зарубки эфов, великими итальянцами производилась следующим образом: дека балансировалась на ребре линейки поперек ее длины, где линия баланса и определяла искомую точку. При одинаковой длине деки, но различном отношении между ширинами верхнего и нижнего овалов эта точка смещалась выше или ниже соответственно этой пропорции. При длине деки 35.5 мм и отношении ширин овалов 5/4 мензура инструмента (расстояние от верхнего края деки до внутренних зарубков эфов) всегда была около 196 мм. Если верхний овал был несколько шире, и поэтому тяжелее, то эта точка смещалась выше и мензура могла быть 193-194 мм. Наоборот, при узком верхнем овале (или широком нижнем, что одно и тоже) мензура могла доходить до 198 мм.

Так как мы вычерчиваем не саму деку, а только патрон скрипки, чья длина равна 348.4 мм, точка Е должна находится на расстоянии около 192 мм от верхнего клеца. Я нахожу эту точку делением общей длины патрона на два отрезка в пропорциональном отношении 2/ф = 1.2360678. Тогда СE = 192.6 мм, а ED = 155.8мм.

Следующий этап - выбор модели и размер эфов. В этом вопросе каждый мастер волен выбирать, что ему по душе: копировать эфы великих мастеров или моделировать собственные. Я предлагаю вашему вниманию мою собственную модель эфов, полностью построенную с применением золотой пропорции, основные идеи которой я уже продемонстрировал при анализе эфов великих итальянских мастеров.

На горизонтальной линии, проходящей через точку E, строим золотой прямоугольник, причем меньшая сторона перпендикулярна горизонтальной линии и равна 10Пи мм (31.415 мм), а большая - 50.83 мм и делится точкой E пополам. На рисунке этот прямоугольник отмечен буквами a, b, c и d.

Если точки E и b соединить прямой, то отрезок Eb может стать основанием равнобедренного треугольника с углом при основании 72º, который называется золотой треугольник. Этот треугольник опирается своими углами соответственно в точку E, центр верхнего глазка (точка b) и центр нижнего глазка (точка e).

Отрезок Eb, как гипотенуза прямоугольного треугольника aEb, равен 40.41 мм. Тогда Ee = Eb x ф = 65.38 мм.

Из точки E описываются две окружности радиусами Eb (r - малый радиус) и Ee (R - большой радиус). Точку пересечения малой окружности с CD обозначим буквой f. Проводим через эту точку горизонтальную линию до пересечения с большой окружностью, а точки пересечения обозначим буквами g и h. Длину отрезка gh, который является самым узким местом в талии скрипичного патрона, определяем следующим образом:

gh = 2V(R²- r²) = 2V(65.38 мм²- 40.41 мм²) = 102.8мм.

(V - это знак квадратного корня)

Из точек, соответствующих верхним и нижним глазкам эфов, описываются окружности радиусами 5 мм для нижних глазков и 3.75 мм для верхних.

Дальнейшая работа по построению эфов и талии клотоидами сходна с нашими анализами инструментов итальянских мастеров и легко читается по рисунку. Здесь я применил клотоиды а-40 для нижних глазков и а-30 для верхних, а эсы вычерчивал клотоидами а-71 и а-44.

СВОДЫ ДЕКИ И ДНА

Своды деки и дна представляют собой поверхности. Прежде чем давать правила построения поверхности деки и дна следует определить, к какому виду поверхности они относятся. "Поверхность есть то, что имеет длину и ширину" (Эвклид). Имея только длину и ширину, поверхность двумерна. Положение точки на ней определяется двумя поверхностными координатами.

Кинематически поверхностью является совокупность последовательных положений линии, движущейся в пространстве. Движущаяся линия называется образующей, а элементы пространства, задающие закон ее движения - направляющими. Совокупность фиксированных положений взаимно перемещающихся линий называется линейным каркасом поверхности. Вид образующей и закон ее перемещения однозначно определяют конкретную поверхность.

Поверхности деки и дна относятся к криволинейным поверхностям. Образующие криволинейных поверхностей могут быть как постоянного, так и переменного вида.

Криволинейные поверхности с образующей переменного вида по закону ее движения подразделяются на закономерные, графические, топографические, гравитационные и др.

Прежде чем определить к какому виду поверхностей мы будем причислять своды деки и дна, обратимся к истории этого вопроса.

Многие исследователи творчества итальянских скрипичных мастеров для изучения сводов деки и дна снимают с них топографические диаграммы. Топографическая диаграмма вычерчивается контурными линиями, которые соединяют точки кривизны одинаковой высоты. Такой метод анализа сводов деки и дна скрипки очень хорош во многих случаях: его можно применять для изучения происходящих в деке или дне деформаций, им можно пользоваться и во время изготовления новой деки как частный случай контроля симметричности выработки свода.

Совершенно другой метод построения сводов деки и дна оставил нам сам А.Страдивари. Его сексты кривизны (одна продольная и пять поперечных направляющих) дают правило построения сводов деки и дна, а также являются аналитическим инструментом для изучения различных сводов.

Исходя из характера этих секст, поверхность скрипичной деки или дна можно определить как графическую поверхность, которая образуется движением изменяющей свою форму образующей (пять поперечных) вдоль направляющей (шестая продольная) в соответствии с результатами расчетов, удовлетворяющих наложенным условиям. Условиями в данном случае выступают характерные изгибы продольной направляющей, горизонтальная плоскость и контур основания деки. Пять поперечных кривых, как различные положения переменной образующей, вместе с шестой продольной, как направляющей, составляют линейный каркас поверхности деки или дна.

Хотя характер сводов различных инструментов А.Страдивари изменчивый (из-за особенностей древесины, если это не связано со сменой модели), все же он поддается геометрическому анализу и может быть представлен алгебраической формулой, то есть может быть описан клотоидой. Тогда и образующая, и направляющая этих поверхностей будут алгебраическими кривыми, а поверхность деки или дна будет закономерной криволинейной поверхностью с образующей переменного вида. Переменчивость образующей задается контуром деки, направляющей кривой и плоскостью основания.

Начальное положение образующей кривой определяется геометрическим центром деки или дна. Исходя из специфики деки и дна, им придается различная кривизна свода. На рис. 48 я представил поперечное сечение деки (a) и дна (b) в скрипках А.Страдивари. Как видно из рисунка, различные положения клотоиды на деке и на дне показывают различный характер их кривизны. Так вершина деки имеет больший радиус кривизны, а чем ближе к краям - радиус уменьшается. В дне все происходит наоборот - на вершине находится меньший радиус, а ближе к краям - больший.

Продольная (или направляющая, как мы определили ее математически) кривая деки повторяет характер кривизны образующей (рис 48, а), то есть в обоих случаях клотоида распологается от центра к краю.

Направляющая кривая дна (рис. 49 - верхняя кривая) имеет более сложный характер кривизны, что хорошо видно из рисунка, на котором я показал только ее половину. Если расположить клотоиду в том же направлении, как я это делал с декой (рис. 49 - нижняя кривая), то она отклоняется от направляющей довольно далеко от края, показывая тем самым довольно большой радиус кривизны направляющей дна около края, что соответствует характеру кривизны образующей.

Рис. 48. Поперечное сечение деки (a) и дна (b) в скрипках А.Страдивари.

Рис. 49. Продольное сечение дна и деки в скрипках А.Страдивари.

На рис. 50 я изобразил сексты кривизны деки скрипки, которые распологаются: А) - в центре; В) - между верхними углами; С) - в соответствии с самым широким местом в верхнем овале; D) - между нижними углами; Е) - в соответствии с самым широким местом в нижнем овале; F) - в верхней половине продольного сечения; G) - в нижней половине продольного сечения.

Расстояние между вертикальными прямыми, делящими центральную кривую (А) на равномерные участки, равно 6 мм; высота свода в центре равна 15.5 мм; ширина деки в этом месте - 112 мм.

Расстояние между верхними углами (B) равно 150 мм, а высота свода в этом месте - 14.8 мм.

Самое широкое место верхнего овала (С) равно 167 мм при высоте свода в этом месте 12.0 мм.

Расстояние между нижними углами (D) равно 179 мм, а высота свода в этом месте - 15.3 мм.

Самое широкое место нижнего овала (Е) равно 207 мм при высоте свода в этом месте 13.0 мм.

Продольная кривая (FG) симметрична и разделена на нашем рисунке пополам.

Расстояния между вертикальными прямыми в кривых B, C, D, E, F, G соответствуют точкам их пересечения с линиями топографической диаграммы. Расположение секст на деке можно увидеть на рис. 78, где для большей наглядности я совместил топографическую диаграмму с графическим каркасом. Числами на рисунке обозначены высоты свода деки.

Топографическая диаграмма деки изображена на рис. 51. Числами на диаграмме обозначены расстояния между линиями.

Рис. 50. Сексты кривизны скрипичной деки.

Рис. 51. Топографическая диаграмма скрипичной деки.

Рис. 52. Совмещение топографической диаграммы скрипичной деки с секстами.